Logica Matematica

Estudiante: Gean Camilo Carrascal

Código: 20162578024

Implicación de fórmulas:

Una fórmula ‘A’ implica a ‘B’ si y sólo si unidas en forma condicional, ‘A’ como antecedente y ‘B’ como consecuente, su matriz resulta tautológica; si su matriz es consistente o contradictoria, se dice que ‘A’ no implica a ‘B’.

Notación:

A→B: se lee ‘A’ implica a ‘B’

A/→B: se lee ‘A’ no implica a ‘B’

Ejemplos:

Si las matrices de las siguientes fórmulas son:

A: VVFF

B. VVVF

C: FFVV

D: FFFV

Determine, mediante la tabla de verdad, si:

1)“La conjunción de las negaciones de A y C implica a la negación

de la negación conjunta de B y D”.

Procedimiento:

a)Se expresa simbólicamente el enunciado.

b)Se evalúa la fórmula mediante la tabla de verdad.

c)Si su matriz es tautológica se dice que ‘A’ implica a ‘B’; si es consistente o contradictoria, se dice

que ‘A’ no implica a ‘B’.

( ~ A ∧ ~ C ) → ~ ( B ↓ D )

Respuesta: α → β

Implicación directa, contraria, reciproca, contra reciproca:

Existen varias formas de enunciar proposiciones condicionales así:

Implicación directa: p→q

Implicación contraria: ¬ p→(¬ q)

Implicación recíproca: q→p

Implicación contrarrecíproca: ¬ q→(¬p)

Ejemplo1:

Dadas las proposiciones p: Es un animal mamífero

q: Tiene pelo

Entonces:

Implicación directa: Si es mamífero entonces tiene pelo

Implicación contraria: Si no es mamífero entonces no tiene pelo

Implicación recíproca: Si tiene pelo entonces es mamífero

Implicación contrarrecíproca: Si no tiene pelo entonces no es mamífero

Teniendo en cuenta la proposición directa: ¬p→q construir las otras formas de la implicación:

Implicación directa: ¬p → q

Implicación contraria: p → (¬q)

Implicación recíproca: p → ¬q

Implicación contrarrecíproca: ¬q → p

Tautología:

Entre las proposiciones compuestas existen unas muy importantes por ser siempre verdaderas independientemente del valor de verdad de las proposiciones que la conforman; este tipo de proposiciones reciben el nombre de tautologías. En otras palabras, se dice que una tautología es una función lógica que es verdadera para todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de sus premisas.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Demostrar que la proposición ( p∧q ) → p es una tautología, para demostrarlo, debemos construir la tabla de verdad y verificar que efectivamente la función lógica es verdadera para todos los casos:

Ejemplo 2:

Demostrar que la proposición [ (p ∨ q) ∧ ¬p ] → q es una tautología, para demostrarlo, debemos construir la tabla de verdad y verificar que efectivamente la función lógica es verdadera para todos los casos:

Queda demostrado que [(p ∨ q)] ∧ ¬p] → q es una proposición que sin importar el valor de sus premisas p y q, es siempre verdadera.

Ejemplo 2:

Satisfacibilidad:

• Una fórmula proposicional es satisfacible si toma el valor T para alguna interpretación

• Una formula proposicional es insatisfacible si no es satisfacible, e.d. si su valor es F para todas las interpretaciones, e.d. si es una contradicción.

• Una formula A es tautología (valida) si y solo si ¬A es insatisfacible

• A es satisfacible si y solo si ¬A es falsificable.

Consistencia:

La consistencia de un conjunto de proposiciones

\scriptstyle {\mathcal {A}}

puede ser definida tanto en términos semánticos como en términos sintácticos. En términos semánticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si tiene un modelo

\scriptstyle {\mathcal {M}}

$\vDash _{\mathcal {M}}{\mathcal {A}}$

Es decir, si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto. En términos sintácticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si para toda fórmula A, no es posible deducir tanto A como ￢A (i.e. la negación lógica de A) a partir del conjunto de fórmulas.¹

Por ejemplo, considérese el siguiente conjunto de fórmulas de la lógica proposicional: { p, q, (q→￢p), r }. Utilizando la regla de inferencia del modus ponens entre q y (q→￢p), es posible deducir ￢p. Luego, según la definición sintáctica de consistencia, el conjunto es inconsistente. Para evaluar si el conjunto es consistente según la definición semántica, podemos construir una tabla de verdad:

Como se ve, en ninguna de las interpretaciones (ninguna de las filas de la tabla) se da que todas las fórmulas son verdaderas. Luego, de acuerdo con la definición semántica, el conjunto es inconsistente.

Un sistema formal es consistente si y sólo si el conjunto de sus teoremas es consistente.

Por los teoremas de la incompletitud de Gödel sabemos que ningún sistema formal que tenga un mínimo de poder expresivo puede ser a la vez consistente y completo.

Un conjunto de premisas [v] es consistente si y sólo sí no es posible intepretarlas de manera que alguna de ellas sea una fórmula falsa.

Ejemplo:

1) p --> q En el cual, si interpretamos el conjunto de

2) q --> r premisas en manera que sus fórmulas atómicas

3) r --> s componentes `p', `q', `r', y `s' sean todas ellas

verdaderas, todas las premisas lo serán; y si las interpretamos como todas falsas, también las premisas resultarán verdaderas. El hecho de que un conjunto de premisas sea consistente, no garantiza la validez del razonamiento. Importante. En la prueba de consistencia de las premisas no se toma en cuenta a la conclusión.

1) p --> q En cambio, en este conjunto de premisas no es

2) q --> r posible interpretarla de manera tal que todas y

3) -r & p cada una de ellas resulten verdaderas. Por tanto es un conjunto de premisas inconsistentes. De un conjunto de premisas inconsistentes es posible deducir una contradicción.

4) -r simpl. 3

5) p --> r s. h. 1,2

6) p simpl. 3

7) -p m. t. 4,5

8) p & -p conj. 6,7

9) p v r adic. 6

10) r s. d. 7,9

Lo importante en la determinación de la consistencia de las premisas es que de un conjunto de premisas inconsistente podemos deducir cualquier fórmula. Es decir, un conjunto de premisas inconsistente siempre será una fórmula tautológica [v]. Así, nótese que `r' no aparece ni siquiera en el conjunto de premisas, pero, al ser éstas inconsistentes, es posible deducirla.

Método abreviado: